Đề cương của Đài Loan - Wikipedia

Hình 1. Minh họa sức mạnh của điểm P trong vòng tròn tập trung vào điểm O . Khoảng cách s được hiển thị bằng màu cam, bán kính r được hiển thị bằng màu xanh lam và đoạn đường tiếp tuyến PT được hiển thị bằng màu đỏ.

hình học phẳng, sức mạnh của một điểm là một số thực h phản ánh khoảng cách tương đối của một điểm đã cho từ một đường tròn đã cho. Cụ thể, sức mạnh của một điểm P đối với đường tròn O bán kính r được xác định bởi (Hình 1).

${ displaystyle h = s ^ {2} -r ^ {2},}$

trong đó s là khoảng cách giữa P và trung tâm ] O của vòng tròn. Theo định nghĩa này, các điểm bên trong vòng tròn có công suất âm, các điểm bên ngoài có công suất dương và các điểm trên vòng tròn có công suất bằng không. Đối với các điểm bên ngoài, công suất bằng bình phương chiều dài của một tiếp tuyến từ điểm đến đường tròn. Sức mạnh của một điểm còn được gọi là sức mạnh vòng tròn của điểm hoặc sức mạnh của một vòng tròn đối với điểm đó.

Sức mạnh của điểm P (xem trong Hình 1) có thể được định nghĩa tương đương là tích của khoảng cách từ điểm P đến hai điểm giao nhau của bất kỳ tia nào phát ra từ P . Ví dụ, trong Hình 1, một tia phát ra từ P cắt đường tròn trong hai điểm, M và N trong khi một tia tiếp tuyến cắt đường tròn trong một điểm T ; tia ngang từ P cắt đường tròn tại A và B điểm cuối của đường kính. Các sản phẩm tương ứng của chúng có khoảng cách bằng nhau và với sức mạnh của điểm P trong vòng tròn đó

${ displaystyle mathbf { overline {PT}} ^ {2} = mathbf { overline {PM}} times mathbf { overline {PN}} = mathbf { overline {PA}} times mathbf { overline {PB}} = (sr) times (s + r ) = s ^ {2} -r ^ {2} = h.}$

Sự bình đẳng này đôi khi được gọi là "Định lý tiếp tuyến bí mật" "định lý hợp âm giao nhau" hay "định lý sức mạnh của một điểm" .

Sức mạnh của một điểm được sử dụng trong nhiều định nghĩa và bằng chứng hình học. Ví dụ, trục cấp tiến của hai vòng tròn đã cho là đường thẳng bao gồm các điểm có sức mạnh tương đương với cả hai vòng tròn. Đối với mỗi điểm trên đường thẳng này, có một vòng tròn duy nhất tập trung vào điểm đó cắt cả hai vòng tròn đã cho trực giao; tương đương, các tiếp tuyến có độ dài bằng nhau có thể được vẽ từ điểm đó đến cả hai vòng tròn đã cho. Tương tự, trung tâm triệt để của ba vòng tròn là điểm duy nhất có sức mạnh tương đương với cả ba vòng tròn. Tồn tại một vòng tròn duy nhất, tập trung vào trung tâm triệt để, giao cắt cả ba vòng tròn đã cho một cách trực giao, tương đương, các tiếp tuyến được vẽ từ tâm gốc đến cả ba vòng tròn có độ dài bằng nhau. Sơ đồ công suất của một tập hợp các vòng tròn chia mặt phẳng thành các vùng trong đó vòng tròn giảm thiểu công suất là không đổi.

Nói chung, nhà toán học người Pháp Edmond Laguerre đã định nghĩa sức mạnh của một điểm đối với bất kỳ đường cong đại số nào theo cách tương tự. ^{[ trích dẫn cần thiết ]}

Vòng tròn trực giao

chỉnh sửa ]

Hình 2: Vòng tròn nét đứt được căn giữa điểm P và cắt đường tròn đã cho (màu đen đặc) ở góc vuông, tức là trực giao, tại điểm T . Bán kính bình phương của vòng tròn trực giao bằng với sức mạnh của P đối với đường tròn đã cho.

Đối với một điểm P bên ngoài vòng tròn, sức mạnh h ] bằng R ² bình phương bán kính R của một vòng tròn mới tập trung vào P giao với đường tròn đã cho ở góc vuông, nghĩa là, trực giao (Hình 2). Nếu hai vòng tròn gặp nhau ở góc phải tại một điểm T thì bán kính được vẽ thành T từ P và từ O trung tâm của đường tròn đã cho, tương tự gặp nhau ở các góc vuông (các đoạn đường màu xanh trong Hình 2). Do đó, đoạn đường bán kính của mỗi vòng tròn tiếp tuyến với vòng tròn khác. Các đoạn thẳng này tạo thành một tam giác vuông với đoạn thẳng nối O và P . Do đó, theo định lý Pythagore,

${ ^ {2} = s ^ {2} -r ^ {2} = h ,}$ Các định lý [ chỉnh sửa ]

Sức mạnh của một định lý điểm do Jakob Steiner, nói rằng cho bất kỳ dòng nào qua A giao nhau với một vòng tròn c tại các điểm P và Q sức mạnh của điểm đối với vòng tròn c được cung cấp cho a ký bởi sản phẩm

${\displaystyle AP\cdot \; <!--\; \cdot \; -->AQ}$

của độ dài của các đoạn từ A đến P và A đến Q với dấu hiệu tích cực nếu A bên ngoài vòng tròn và một dấu hiệu tiêu cực khác: nếu A nằm trên vòng tròn, sản phẩm bằng không. Trong trường hợp giới hạn, khi đường thẳng là tiếp tuyến với đường tròn, P = Q và kết quả là ngay lập tức từ định lý Pythagore.

Trong hai trường hợp còn lại, khi A nằm trong vòng tròn, hoặc A nằm ngoài vòng tròn, sức mạnh của một định lý điểm có hai hệ quả.

• Định lý hợp âm định lý về các hợp âm giao nhau hoặc Định lý sức mạnh hợp âm nói rằng một vòng tròn và PQ và RS là các hợp âm của vòng tròn giao nhau tại A sau đó

${ displaystyle AP cdot AQ = AR cdot ,}$